慢品《研究之美》（本人书评，原载于豆瓣）
第 10 章，两位主人公先证明了加法满足结合律。记得 Alice 写出了一个鬼画符一样的式子……呃，难道译者引用的是道教术语……原文里是 monstrous 呀。:-P 然后用了创造日之和向下递归的方式证明了这个定理。
接下来要证明 T12，若 x .=. y 则 x + z .=. y + z。Alice 说她是因为担心这个相似在加法情况下有偏差的缘故。前面一路下来的讨论中的每个数都是用相似的数中的某一个来代表的，但是加法是直接拿 X.L 和 X.R 之类的内部元素来开刀的，因此有这个担心。毕竟诸如 X.L 和 X.R 之间存在多个数的情况下做加法是比较难以直接想明白为什么加了以后还是相似的。
作为一个扩展，Alice 和 Bill 准备证明 T13：若 x <= y 则 x + z <= y + z。它包含了 T12 的涵义。但是，这个命题的证明看得我一头雾水（Knuth 教授太高深了:-），因为这个证明不是一个简单的创造日之和的向下递归，有很多不能直接用创造日向下递归的地方，我想了好几天，到昨天晚上才得到一个可能有道理的思路，但是还是不完全保证这个思路是正确的。要是有机会还得请教熟悉该命题的专家了。或者同样作为读者的你也可以想一想，给个解释。我这里只能是抛砖引玉了。
T13 是如果 x <= y 那么 x + z <= y + z。等价于若 X.L < y and x < Y.R 则 X.L + z < y + z and Z.L + x < y + z and x + z < Y.R + z and x + z < y + Z.R。然后通过把 T13 应用于 x.L < y 的情况，得出 x.L + z < y + z，但是注意，这里 x.L + z .=. y + z 的情况需要把 T14 应用了以后加以排除。具体来说，先看 T14，它是 T13 的逆命题：若 x + z <= y + z，则 x <= y。x.L + z .=. y + z，也就是 y + z .=. x.L + z 应用 T14 后，得出 y <= x.L，与 x.L < y 矛盾，因此 x.L + z 不可能相似于 y + z，所以 x.L + z < y + z。
接下来，我们想要对于 T13 和 T14 应用创造日递归下降的方法。先看 T13，它的右边是 X.L + z < y + z and Z.L + x < y + z and x + z < Y.R + z and x + z < y + Z.R，又可以进而分成对称的左右两半，我们可以重点关注左边一半，即 X.L + z < y + z and Z.L + x < y + z。前面已经说了从 x.L + z < y + z 所能得出的结论，这样，它已经比 x 要下降一层了。用这个式子去套 T14，如果 T14 能递归下降的话，整体就能成功地递归下降了。
第二个分支则有点搞脑子了：Z.L + x < y + z。由 X.L < y 并不能推出这个，而且可以看出，左右的变量没有一个是相同的，因此用一次 T13 是无法成功的。如果拆成两个倒是可以。一种拆法是拆成 z.L < z => z.L + x < z + x，然后 x < y => z + x < y + z，从而 z.L + x < y + z。可惜，这样拆的话又要用到 x < y 这一层的 T13，等于循环论证，可见此法无效。另一种拆法是拆成 x < y => x + z.L < y + z.L，以及 z.L < z => z.L + y < z + y。将 x + z.L < y + z.L 变成 x.L + z.L < y + z.L and x + Z.L.L < y + z.L and x + z.L < Y.R + z.L and x + z.L < y + Z.L.R。第二个和第四个分支相对于 T13 右部展开的四个分支的第二第四分支相对 z 已经下降一层了，因此可以用来递归。第一个和第三个分支类似于前面的 x.L 和 y.R 的递归下降。接下来看第二部分：z.L < z => z.L + y < z + y，可以变成 Z.L.L + y < z + y and z.L + Y.L < z + y and z.L + y < Z.R + y and z.L + y < z + Y.R。它的四个分支的下降情况和前一部分类似，只是增加了“交叉下降”（如 y 到 Y.L 类似于 z 到 Z.L）。一个问题是第二分支的右半部 y + z 始终“不肯”下降，但如果 X.L < y => X.L + z < y + z 是有效的递归下降的话，那么这个也是有效的。但我还没有彻底想通为什么这个是有效的……
接下来要看看 T14 这边。X.L + z < y + z and Z.L + x < y + z and x + z < Y.R + z and x + z < y + Z.R => X.L < y and x < Y.R。我们用下降一层的 X.L 和 Y.R 来支持：X.L + z < y + z and x + z < Y.R + z => X.L < y and x < Y.R（需要 T13 来消除相等的情形）。可见，第二和第四个条件分支不用成立，右边的结果也能成立，所要不需要再考虑它们了。
之后，两位主人公开始证明 x – x .=. 0. 此时在我心里想起的是，到底哪些有关加法的定理是必须的，或者说，哪些定理足以把超实数映射为实数。我记得之前章节中“定义”了从超实数到实数的对应关系，这种定义是基于超实数加法与实数加法相似的假定下的。第一组有关加法的定理 T13 和 T14 表达出：对于任意正数 z，x + z > x；x < y <=> x + z < y + z（x 和 y 的顺序关系在加了 z 之后不变）。有了 T15 外加一些之前的定理（不需要 T13 和 T14），得到：x + (y – x) + z = x – x + y + z = y + z，但这仍不表示“y 和 x 的间距 y – x 仍被 x + z 和 y + z 保持”，因为 y – x 这个概念还不一定对应到实数中的相关概念。
仔细思考之后，我发现了一些能用于把超实数加法与实数加法相对应的线索。如果我们把两个正数相加，a/b 和 c/d，b 和 d 是 2 的幂。结果可能是一个大于 1 的数或是小于等于 1 的数。因为一个大于 1 的数的定义是把前一天的比它小 1 的数加 1 得到的，因此这个值是定义出来的而不是计算出来的。我们可以把 a/b 和 c/d 减 1 直到它们的和小于等于 2。加法操作——([X.L + y] union [Y.L + x] | [X.R + y] union [Y.R + x])——可以用左集中最大数和右集中最小数来代表。若 b 和 d 不相等，其中之大者作为除数，假设是 b，加法结果中的左右集代表数的差的一半会等于 1/b。
“创造源数”——还记得这个概念吧？比如第 2 日的数 0 和 1 会创造 1/2，把 0 和 1 就称为 1/2 的创造源数吧。就算有其他的形式，如 ([1/4]|[3/4]) 也表示 1/2，但是创造源数还是唯一的。被创造数的值也是由定义而不是计算得出的。假定 b > d（过后再考虑 b = d），那么和的左集最大数 NL 和右集最大数 NR 的差值的一半就是 1/b。1/b 是与 a/b 同一天创造的正数中的最小者。相对应的实数和可能 < 1 或 > 1。在 < 1 的情形下，略微的思索发现，和的创造源数就是 NL 和 NR，其值是定义出来的，与实数相对应。在 > 1 的情形下，和是通过 a/b 同一创造日的另一个小于 1 的数通过加 1 定义出来的，它的创造源数也是能与实数相对应的，因此没有问题。再考虑 b = d 的情形。NL 与 NR 之差值的一半将是 1/b，但是 NL 和 NR 之间最早被创造的数将是一个 2/b 的倍数。无论小于 1，等于 1 还是大于 1，根据 T7，加法的结果总是相似于 NL 和 NR 之间最早创造的那个数。那个数相对应的实数值也是定义出来的。
让我们回到书本。在第十一章，男女主人公确定了一生之缘，这种奇妙的安排，正是如同数学那样，经常在出其不意的地方给人们以惊喜。
第十二章，主人公们探讨了一些特别的情形，这些情形在康威的约定之外。康威的规则并没有覆盖到这些情况，而是由主人公们自己进行了探索。首先映入眼帘的是圈加。圈加的定义是两个源数，一个目标数，目标数的左集是源数 a 左集之每一数与源数 b 左集之每一数之圈加结果。
经过主人公的试验与探索，圈加的结果显得很特别。第一个发现的现象是圈加任意两个正整数的结果是两个正整数中较小的一个。
1/2 与 -1/2 的圈加结果是 ([0]|[0])，不符合规则 1，所以圈加不是一个合法的运算。
接下来讨论的一个问题是伪数。一个伪数是不符合规则 1 的数。书中也说到了规则 2，然后我想起一件趣事：当初高博翻译本书时，曾给我看过，我也稍微看了一点。这本书和别的书不同，它的内容不是那么容易懂，而且如果跳过前面一部分的话，后面的就会看不太懂。所以我那时陆陆续续看了一点，才看到大约 Alice 讲相似性规律的前面一部分。一开始我也没注意，有一次参观高博的办公室，他打印了五十页出来，然后我看了以后，突然发现他的康威之石的第一段文字里面，好像是“甲数大于或等于乙数，当且仅当甲数的左集中无一大于或等于乙数”，这前一个大于或等于不对嘛。因为后面的内容与此相悖的关系，我才作出这个推断。后来他很慷慨地改掉了。这段经历让我十分珍惜阅读此书的机会，毕竟这么精工细作的书非常难得。他不仅仅在翻译方面十分精细到位，而且在排版方面，出版之前用 TeX 重新排版，还把中英文的句子按页仔细编排，使得中英对照起来十分方便。
伪数可以按照规则 2 来进行比较。虽说伪数之间的大小关系比较复杂，未必符合传递律和自反律，但这还是可以判断的。比如说，要比较 ([1]|[0]) 大于等于 2 是否成立，可以展开：2.L < ([1]|[0]) and 2 < [0], … and not (2 >= 0), … and false, 即结果为假。
Alice 开始研究起伪数关于之前证明过的定理的性质了。首先看 T1，就是小于等于的传递性。这个定理当初的证明没有用到规则 1，因此也是适用于伪数的。
先撇开一下话题，当初证明了传递性和非异次元性后，基本上建立了超实数的大小关系模型，即任意两个数 a 和 b 之间要么 a 小于等于 b，要么 b 小于等于 a，而且如果两者都成立，那么传递性将保证所有相似数的唯一集合，同时传递性和非异次元性一起应用能保证大于且不等于关系的传递，使得顺序看起来和实数类似。
然后回来：规则 1 在证明“非异次元性”的过程中是用到过的，所以伪数出现了如下的奇特现象：([1]|[0]) 既不小于等于也不大于等于 0。书中还列举了其他的奇特现象，煞是有趣。后 Bill 一不小心误认为 ([1]|[0]) 不小于等于它自身，这是因为之前看到它与 0 和 1 之间的数没有任何关系，所有比 0 小的数都小于等于它，所有比 1 大的数都大于等于它，所以误认为它与它自身也没有关系，但事实上容易验证，它是相似于它自身的。
后来 Alice 疑惑 T3 对于伪数是否成立，Bill 提醒说看看之前的证明对伪数是否成立，然后 Alice 马上说它成立，对此我开头有疑问，后来仔细看了以后发现它的证明的确没有用到规则 1，只是用了个递归。第十二章真是拓展视野的一章，讲了那么多东西都还没有讲完，我在安卓手机上用百度输入法打五笔都打得累了:P
接着，女主人公对着所有有关加法的定理大声宣布，所有这些定理的证明对于伪数全部成立，这个欣喜若狂的庆祝，被男主人公的一桶冷水给浇没了：倒还是 Alice 先冷静下来，检查了 T13 的证明。她怀疑的是 T13 展开式的第二个分支，即 Z.L + x < y + z，对于创造日之和的应用。但是我觉得如果我的推断没有错的话，应该是与第一个分支相似的，问题还是在那个右半部的 y + z 不知道怎么下降法。